複雑なボラティリティ曲面へのスムーズフィット

インプライド・ボラティリティ曲面は、トレーダーやクオンツがエキゾチックオプションの価値評価や感応度計算を可能にする、捉えどころのない三次元形状です。

しかしながら、これらの曲面を構築することは容易ではありません。オプション価格は、行使価格と満期日という離散的な点群を提供し、これが曲面の初期骨格を形成します。この骨組みは、点と点の間を補間して連続した曲面を形成することで、肉付けされなければなりません。

この分野のモデルは、ボラティリティ曲面が持つより複雑な構造の解明を試みています。例えば、インプライド・ボラティリティの断面にはW字形状が現れることがありますが、これは特徴的なスマイル形状よりも捕捉が困難です。この問題の解決策は通常、知的所有者によって厳重に守られた独自技術となっています。つまり、基礎となる計算式を公開せずにサービスを提供するベンダーか、優れた計算式が営業の秘訣となる銀行のいずれかです。

ファブリス・デシャトル氏は、デリバティブ価格算定会社Volptimaの創設者であり、ゴールドマン・サックスや複数のヘッジファンドでクオンツ職を歴任しました。既存のボラティリティ適合手法のいずれにも完全には満足できず、独自のアプローチである凸ボラティリティ補間法（CVI）の開発に着手しました。

CVIは、インプライド・ボラティリティ曲面を構築するアルゴリズムであり、凸最適化問題として定式化されています。そのため、スタンフォード大学が開発したCVXPYやオックスフォード大学のClarabelといった現代的な最適化ソルバーによる処理に適しています。

「市場参加者は安定性と正確性を求め、裁定取引が発生しないことを望んでいます。さらに、フィッティング処理の高速化と、トレーダーが管理するリスクに直結する直感的なパラメータの採用を理想としています」とデシャトル氏は述べています。

トレーダーはしばしばトレードオフを迫られます。バニラ商品とエキゾチック商品のデスクは、それぞれの特定のニーズに応じて異なるボラティリティ曲面を採用する場合があります。バニラ商品デスクは精度、安定性、直感的なパラメータを重視する一方、エキゾチック商品デスクは裁定取引の不在を最も重要な基準とします。CVIは「両者の間のギャップを埋める」ために設計されていますと、デシャトル氏は述べています。

この手法の中核をなすのはBスプラインです。これはデータポイントの集合を補間して滑らかな曲線を生成する多項式です。マレックス・ソリューションズの主任クオンツであり、インペリアル・カレッジ・ロンドンの客員教授でもあるウラジミール・ルチッチ氏は、この研究の独創性は、ボラティリティ曲面の処理に通常用いられるパラメータ、すなわちアット・ザ・マネー・ボラティリティ、スマイル、スキューを包含するようBスプラインを適応させた点にあると考えます。

「スプラインは、対象となる問題に対してより自然な方法でパラメータ化されています。さらに、著者は問題を解決するための非常に効率的な数値手法を提案しています」とルチッチ氏は述べています。「これは、ボラティリティのパラメータ化に関して既に発表されている文献に対する必要な改良です。」

柔軟な設定は、しばしば裁定取引の可能性を完全に排除できません。しかしルチッチ氏は、CVIが柔軟性を保ちつつ裁定条件を満たす方法を見出したと述べています。

デシャトレス氏は、価格ではなくボラティリティに特化したアルゴリズムの利点を説明します。「価格ベースのボラティリティフィッターは、特にエキゾチック商品において、裁定取引条件の適用を容易にするため広く用いられてきました。一方、ボラティリティ領域では、より直感的なパラメータと、両端（ウィング）における優れた安定性が得られる傾向があります」。同氏の主張によれば、CVIは両方の要件を満たすことができるとのことです。

CVIが標準商品とエキゾチック商品の双方に応用可能であるにもかかわらず、デシャトレス氏は前者からの関心が高まると予想しており、特に株式や暗号資産に適していると考えています。

ルチッチ氏も新手法を支持し、実運用段階での検証準備が整っていると述べています。「フロー取引業務への適合性は確信しており、エキゾチック商品においても高い潜在能力を有していると考えます」

CVXPYやクララベルといった最適化ソフトウェアツールも手法の実用化に貢献しました。デシャトレス氏によれば、CVXPYや専門モデリング言語が登場する以前は、この種のアプローチを実装するには高度な学術的スキル（「ほぼ博士号レベル」）と商用ソルバーのライセンスが必要でした。

「CVXPYによって凸最適化が多くの人々に利用可能になり、Clarabelによって高速化が実現しました」と彼は述べています。「ツールは既に整っていました。貢献は適切な定式化を見出した点にあります」

「とはいえ」と彼は認めます。「可能な限り高速化するには、大規模なエンジニアリング努力が必要です」

ルーチッチ氏は、この手法が実運用に適している可能性はあるものの、理論的基盤をより強固にするための改良が可能だと考えています。「実際の事例では機能しますが、提案された線形化があらゆる条件下で確実に機能するという厳密な証明、言い換えれば、実際に機能する条件を明確に示す数学的証明は存在しません」と彼は述べています。

さらにルチッチ氏は、行使価格空間における裁定取引禁止制約はソフトな制約であると指摘します。つまり、ビッド・アスクスプレッド外でのペナルティは、境界線を越えないことを保証するものではなく、補正メカニズムとして機能するに過ぎないのです。ハードな制約を導入することでモデルは強化されるでしょう。

デシャトル氏にとって、まず取り組むべき改善点は、あらゆるシナリオにおいてCVIを信頼性の高いツールとすることです。「ボルプティマでは、安定性の向上に重点を置いています。極端な価格帯においても、上場ストライク範囲内においても、あらゆる場面で安定性を高めることが目標です」

編集：アレックス・クローン