「エピサイクル」を超えて：モデルは市場に「適合」するだけでなく、市場を「説明」できなければならない

1994年にブルーノ・デュピエが彼の有名な局所ボラティリティ・モデルを提唱したとき、それは実務家の間で瞬く間に広まりました。

それもそのはず。このモデルは、ブラック・ショールズの魔法に近いデルタ・ヘッジの魅力をすべて保ちつつ、わずかな計算作業で、取引されているヨーロピアン・オプション価格のあらゆる曲面に適合させることができるのです。それは、ボラティリティを価格水準と時間に依存させるだけで実現できるからです。これほど都合の良い即効策が利用可能になれば、それを無制限に用いないわけにはいきません。特に、いわゆるバニラ市場と完全に整合しているとされる方法で、エキゾチック・オプションの価格付けを行う際にはなおさらです。

残念ながら、ローカル・ボラティリティは本質的に洗練された曲線近似の演習に過ぎず、市場の現実との接点はほとんどありません。

これはトレミー（プトレマイオス）の「エピサイクル（周転円）」を連想させます。これは、惑星の観測結果と地動説の世界観を調和させるために考案された、独創的な幾何学的仕掛けでした。各惑星は小さな円を描いて運動し、その中心自体が地球を回る大きな円に沿って移動するように設定されていました。この構造は驚くほど効果的でした。複雑な見かけの軌道を再現し、惑星の位置に関する正確な表を生み出したのです。その精度は、ニュートン力学が当初は凌駕するのに苦労したほどでした。

しかし、現在、周転円は存在しません。太陽の周りを楕円軌道を描く惑星だけが存在するのです。

ボラティリティは、自己参照的なフィードバックループの結果です

同様に、市場があたかもボラティリティが単に時間と水準の関数であるかのように振る舞う、あるいは経済主体が合理的であるかのように振る舞うと仮定するのは適切ではありません。優れた理論とは、何よりもまず、世界で起きていることを忠実に写し出した心のイメージであるべきです。

ドイン・ファーマーが著書『Making Sense of Chaos』で論じているように、モデルは「真実味」の原則に従うべきです。「モデルは事実に合致すべきであり、その仮定は妥当なものでなければならない」と彼は記しています。「最初から間違っていると思われる仮定は、妥当な仮定よりも誤った結論を導きやすい。我々は『あたかも～であるかのような』推論を、『あるがままの』推論に置き換える必要があるのです。」

それから25年が経ち、ボラティリティの要因についてはるかに多くのことが分かってきました。また、オプション市場が明らかにすると言われる、大々的に喧伝されてきたリスク中立確率分布は、実際には、金融数学の教科書が私たちに信じ込ませようとしているよりも、将来の価格推移の真の分布にはるかに近いものであることも分かっています。専門用語で言えば、QはPとそれほど違いがないのです。

では、ボラティリティは何に依存しているのでしょうか。市場を揺るがす真に予測不可能な外生的ニュースを超えて、ボラティリティは大部分が内生的です。それは過去のボラティリティそのものによって形作られますが、価格が現在の水準に到達するまでの推移によっても形作られます。いわゆるレバレッジ効果はよく知られています。株価が下落すると、その将来のボラティリティは上昇する傾向があります。この効果は株価指数においてさらに強くなります。なぜなら、同時に銘柄間の相関が高まり、その動きが相乗効果を生むからです。

もう一つ、より最近の効果として――ジル・ズンバック氏によって初めて明らかにされたものですが――上昇・下落のいずれのトレンドも、将来のボラティリティの上昇をもたらします。言い換えれば、正の自己相関を持つリターンの連続は、同じリターンの分布を持ちながらも横ばい・ジグザグ状の構造を持つ連続よりも、高いボラティリティに続くのです。

要するに、ボラティリティは荒々しく、経路依存的であり、局所ボラティリティモデルが想定するような単なる水準依存的なものではありません。これは、VIXオプションや、複雑な経路依存的なペイオフを持つオプションの価格設定といった具体的な場面において重要であり、そこではボラティリティの経路依存性が（ほぼ自明なことに）極めて重要な意味を持ちます。

しかし、話はそれだけではありません。資産Aのボラティリティは、資産Bの推移にも依存する可能性があります。セシリア・オーブラン氏およびマイケル・ベンザケン氏との最近の論文において、我々は多変量設定においてクロス・レバレッジ効果およびクロス・ズンバック効果が存在することを示しました。 E-mini先物契約の最近のトレンドが、他の先物契約のボラティリティに及ぼす影響は特に強いものです。E-miniと個別株の残差ボラティリティとの間のクロス・レバレッジ効果は顕著であり、驚くべきことに、株式市場全体において普遍的に見られます。言い換えれば、指数が下落すると、ボラティリティの個別的な要素が上昇するということです。

最後に、我々は、2つの資産間の過去の実現共分散と、各資産の将来のボラティリティとを結びつける新たな効果を明らかにしました。これは、E-miniと米国債のペアによって特に明確に示されています。

これらの知見は、ボラティリティが自己参照的なフィードバックループの結果であるという見解を裏付けています。それは各資産固有のダイナミクスから生じるだけでなく、相互に関連する複数の市場が織りなす微妙な集合的な動きからも生じているのです。また、これらは研究がどのように前進するかを示しています。それは、洗練され便利な解決策に固執することではなく、実証的事実に対する慎重かつ粘り強い注目を通じてです。そうした事実は、蓄積されるにつれて、構造と複雑さのより深い層を明らかにしていくのです。

ブノワ・マンデルブロは、経済学において「万物の理論」など存在し得ないが、その試みの一つひとつが市場の振る舞いを正しく理解することに近づいていく、と有名な言葉を残しています。実際、目指すべきは単一の最終的な公式ではありません。それは、エピサイクルをメカニズムへと置き換え続けること――今日の市場と単に一致するだけでなく、明日市場が変化してもなお意味をなすモデルを構築することです。

その報酬は、美的な洗練さではありません。それは「理解」なのです。

来月のコラムのテーマである生成AIの「非モデル」は、その顕著な反例となるのでしょうか？

編集：マウロ・チェーザ