ポッドキャスト：アビ＝ジャバー氏とリー氏が語る「スティッキー」なボラティリティ問題

VIXとSPXのオプションを同時にキャリブレーションしつつ、現物価格とボラティリティの間に一貫した動的関係を生み出すモデルの開発は、長年にわたりクオンツの課題となってきました。

初期の研究では、ラフ・ボラティリティ・モデルやジャンプ過程を用いたり、補間法を採用したりするなど、この同時キャリブレーション問題を解決するための様々な手法が提案されましたが、その扱いやすさや精度に関しては、成果はまちまちでした。より最近の研究では、精度と処理速度が向上しています。

この問題の中で、あまり注目されていない部分として、スキュー・スティッキネス・レシオ（SSR）があります。これはロレンツォ・ベルゴミによって導入された指標であり、原資産のスポット価格が変動した際に、アット・ザ・マネーのインプライド・ボラティリティがどれだけ変動するかを測定するものです。

現代のモデル仕様の多くは、SSRを一貫して捉えることができていません。つまり、同じVIXやSPXのスマイル曲線におけるスナップショットを基にした2つのモデルが、全く異なるフォワード・ボラティリティを予測する可能性があり、その結果、銀行は異なるヘッジ戦略を採用することになります。

SSRを確実に把握することは、効率的なヘッジに大いに役立ちます。

エコール・ポリテクニークの応用数学教授であるエドゥアルド・アビ＝ジャベール氏（写真上、右）と、モルガン・スタンレーのエキゾチック株式デリバティブ部門のクオンツ・ストラテジストであるショーン・リー氏が、Quantcastの最新エピソードで、この問題に対する彼らの解決策について議論しています。

「S&P 500オプションは、少なくとも短期の満期においては、急峻な負のスキューを示しています。一方、VIXオプションは顕著な上向きのスマイル曲線を描いています」とアビ＝ジャベール氏は述べています。 「現実的なスポット・ボラティリティのダイナミクスを再現しつつ、これら両方の特徴を再現できるモデルを見つけることは、非常に困難であることが知られています……そして、これがショーンの博士課程研究の出発点でした」と彼は付け加えます。これは、彼がモルガン・スタンレーに移る前に、リー氏の博士課程の指導教官を務めていたことに言及したものです。

リー氏は、これがなぜ重要なのかを説明しています。ポジションのデルタといったギリシャ指標の計算でさえ、SSRがいわゆる「スティッキー・デルタ」領域にあるか、「スティッキー・ストライク」領域にあるかによって、異なる結果になる可能性があります。「損益をより適切に管理し理解するためには、SSRを正しく把握することが極めて重要です。なぜなら、それによってヘッジ戦略が大きく異なることになるからです」とリー氏は述べています。

両氏は、自分たちのモデルを「2因子5次オーンスタイン・ウレンベックモデル」と表現しています。本質的には、同じブラウン運動によって駆動される2つのランダムプロセスの和を表す5次多項式です。

5次項について、著者らは、意図したすべての特徴を記述するために可能な限り単純なモデルを模索した結果、5次多項式を選択したと説明しています。5次多項式は必要な複雑さを捉えており、その次数に奇数（つまり4次や6次は適さない）を用いることには、金融問題に必要な特性を維持するためのプロセスに関連する、構造的かつ数学的な理由があります。

この2人の研究者が提唱する2因子モデルは、Abi-Jaber氏とLi氏がBNPパリバ・アセット・マネジメントのCamille Illand氏と共同で作成した以前の1因子モデルを基盤としています。Abi-Jaber氏によると、2因子モデルではボラティリティ・サーフェス全体を捉えることができますが、1因子モデルでは最長3ヶ月までの短期の満期しか記述できなかったとのことです。

今後、アビ＝ジャバー氏は、この5次モデルを拡張し、パス依存性、すなわちボラティリティ・モデリングへの記憶効果の組み込みを検討しています。

インデックス：

00:00 はじめに

01:30 論文と共同研究の背景

07:55 5次モデル – なぜ5次多項式が適切なのか

15:40 実装と課題

24:00 パスシグネチャを用いたボラティリティモデリングの将来

28:46 今後のプロジェクト

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