市場は未来を非常に歪んだ形で捉えている

物理学から金融学へのアイデアや手法の応用には、長い歴史があります。金融価格に関するバシュリエ＝アインシュタインのブラウン運動理論から、ファインマン–カッツの経路積分、マンデルブロのマルチフラクタル、さらにはランダム行列理論に至るまで、成功した応用例は数多く存在します。

本コラムでは、いわゆる弾性多様体（elastic manifold）――統計物理学における理論モデル――と、それらがフォワードレートカーブやボラティリティサーフェスのダイナミクスに適用されるという、やや意外な展開に焦点を当てます。

本来の意味において、弾性多様体とは、バネでつながれたビーズの格子構造のことです。1次元の弾性多様体は、単にそのようなビーズの連なりであり、ポリエチレンなどの高分子鎖を想像していただければよいでしょう。2次元の多様体はシートのようなもので、有名な例としてグラフェン――ハニカム状の平面ナノ構造に配列された炭素原子の単層――が挙げられます。

科学者たちは長年にわたり、こうした構造のダイナミクスを研究してきました。ポリマーの場合、各ビーズはブラウン運動の影響を受けますが、同時に最も近い隣り合うビーズと結びついているため、鎖全体が時間の経過とともにその完全性を維持し、鎖の取り得る構造は強く制約されます。

私たちの最も注目すべき成果は、金利市場における「知覚時間」が実時間の対数関数に従うことを実証した点です

では、これは金融とどのような関係があるのでしょうか？

実は、30年近く前、米国の先物金利曲線の日々の変動を示すアニメーションを見ていた際、同僚たちと私は、その動きがポリマーのランダムな運動と酷似していることに強い衝撃を受けました。この類推は直感的に納得のいくものでした。先物金利は、ランダムな需給ショックに翻弄されながら絶えず変動しているからです。 しかし、フォワード金利曲線には明確な一次元構造があります。つまり、3年6ヶ月後の3ヶ月物金利と、3年9ヶ月後のそれに対応する金利が、単純に乖離することはあり得ないのです。

この曲線は、まるで糸のようにその一貫性を保っています。この制約は、異なる満期日間の間に、単なるランダムなノイズではない、ある種の特別な相関関係をもたらします。むしろ、それは構造化されたノイズなのです。

当時、この考え方は異なる研究グループによって形式化されました。 ペドロ・サンタ・クララとディディエ・ソルネット、 ラマ・コント、そしてラファエル・ドゥアディです。注：対数時間軸を用いる方がフォワード金利曲線のパラメータ化に適しているという事実は、ドゥアディの論文で軽く触れられています。

しかし、この一連の研究は、2004年にベラル・バアクイと私が提案したモデルに集約され、1994年から1996年にかけての日次フォワード金利曲線リターンの全相関行列を驚くほど正確に説明しました。 しかし、興味深いことに、時間が均一に流れると仮定すると、適合度が非常に低くなってしまいました。適切なキャリブレーションを実現するためには、市場参加者が実際には未来の時間を非常に歪んだ形で認識していると仮定する必要がありました。おそらく驚くことではないでしょうが、このパラメータ化は、つまり「10年後の1ヶ月」は、「1年後の1ヶ月」よりもはるかに短く感じられる、ということを意味していました。その後、このモデルはほぼ完全に忘れ去られてしまいました。

幸いなことに、当時エコノフィジックス・ラボの博士課程学生だったヴィクター・ル・コズ氏は、新たな発想、そして何よりも新しいデータを用いて、このモデルを再検討することを決意しました。わずか2つのパラメータを用いるだけで、このモデルは1994年から2023年までの30年間にわたる先物金利曲線の相関構造全体を、相対誤差2%未満の精度で正確に再現しています。

パラメータは時間経過とともに極めて安定していますが、2009年から2014年の量的緩和期間中は変化が見られ、これは中央銀行の介入が、市場がイールドカーブに沿って情報を処理する方法に検出可能な痕跡を残したことを示唆しています。また、このモデルは、相関が時間分解能にどのように依存するか（いわゆるエップス効果）を忠実に再現しており、そこから期間間の情報伝播時間が約10分であると推定できます。

しかし、おそらく最も注目すべき結果は、2004年の論文で推測した通り、金利市場における「知覚時間」が実時間の対数関数に従うことが確認された点です。より具体的には、我々の結果は、最近の行動経済学の文献と一致し、指数関数的（指数関数的ではなく）割引と完全に整合しています。データの深さと流動性を考慮すれば、金利市場は実際に、こうした考えを検証するための最良の実験場を提供しているのかもしれません。

我々のキャリブレーションによれば、通常の時間の流れと対数的な時間の流れの分岐点は、約2ヶ月先で生じます。この時点を過ぎると、歪みは極端なものとなります。つまり、1年後や10年後は、債券市場において実質時間の約1週間として認識されるのです。これは、遠い未来に対する驚くべき近視眼性を反映しており、データがそれを強く示唆しているようです。

同様の考え方は、ContとJosé Da Fonsecaが予想したように、ボラティリティ・サーフェスにも自然に拡張されます。ここでも、満期とマネーネスという2つの次元を用いて、弾性多様体の枠組みを適用したいという誘惑は強かったのです。我々のモデルの異方性を持つ2次元一般化は、インプライド・ボラティリティの変動の相関構造に非常に良く適合します。そして、ここでもまた、認識される満期は実時間の対数として増加します。¹

古典的な指数関数的割引を放棄し、双曲線的割引を採用することは、金融経済学にとってもマクロ経済モデルにとっても、決して小さな問題ではありません。おそらく最も驚くべきことは、結果そのものではなく――行動経済学者は個人の意思決定において双曲線的割引を長らく主張してきました――世界でも最も流動性の高い金融市場からの実証データによって、それがいかに強く裏付けられているかにあるのです。

どういうわけか、債券市場の総体的な挙動には、個々の参加者が意識的に認識していないかもしれない、時間に対する集合的な歪みがコード化されているのです。

その弾力性のある紐は、常に目に見える場所にありました。気づくのに時間がかかったのは、そのビーズが実時間ではなく、対数スケールで配置されているということです。

「一分の間に、多くの日があるのですから」。シェイクスピアの十代のヒロイン、ジュリエットが痛感していたように。

注

1. V・ル・コズ、P・イオセレヴィッチ、M・スメルラックと共同で執筆中の論文で詳述する予定です。

編集：ルイーズ・マーシャル