ヴィニシウスの運命：ワールドカップの組み合わせ抽選における「運」の数値化

今後6週間、2026年FIFAワールドカップが開催されるにつれ、世界中のリビングルームやカフェ、バーではサッカーの話題で賑わうことでしょう。大会の組み合わせについては常に議論の的となっており、自国が強力なライバルばかりが集まるグループに不運にも組み込まれたと不満を漏らすファンもいれば、比較的楽な組み合わせに恵まれたことに安堵するファンもいるでしょう。

しかし、抽選において各チームがどれほど幸運だったか、あるいは不運だったかを、科学的かつ定量的に判断する方法はあるのでしょうか。そして、その過程で金融市場やバリュー・アット・リスク（VaR）に関する洞察を得ることができるのでしょうか。

2026年ワールドカップは出場チームが48チームに拡大され、4チームずつ12のグループに分かれています。 チームはFIFAランキングに基づき4つのポットに分類され、各ポットから1チームずつ無作為に抽選することでグループが決定されました。FIFAランキングに基づく分類の例外は、開催国であるカナダ、メキシコ、米国の3カ国で、これらはポット1に配置されました。また、2025年12月の抽選後に予選を通過した比較的ランキングの高いチームの一部は、本来ならポット2に入るはずでしたが、出場枠を確保した時点でポット4（比較的弱いチームが配置されるポット）に仮配置されていました。 これにより、特にカナダに対しては有利な結果となり（本来であればポット3に入るはずでした）、一方、プレーオフの最終段階で出場権を獲得したトルコに対しては不利な結果となりました（本来であればポット2に入るはずでした）。

私は、パリ工科大学（École nationale des ponts et chaussées, Institut Polytechnique de Paris）の学生であるトーマス・ブッホルツァー氏と共に、公式の抽選手順について15万回のシミュレーションを実施し、抽選における偏りを定量化・可視化するとともに、抽選におけるチームの運の良し悪しをランク付けしました。

各シミュレーションにおいて、グループの強度は、予選通過した48チームの事前の順位に基づき、グループ内の4チームの相対順位（1位から48位）の合計から98を引いた値として測定しました。これにより、完全に均衡したグループの強度はゼロとなり、厳しいグループは正の強度を持つことになります。48チームの順位付けには、抽選時点のFIFAランキングまたはEloレーティングを使用しました。 Eloレーティングとは、相対的な強さを考慮して選手やチームをランク付けするシステムであり、チェスのランキングで最もよく知られています。エロレーティングは、得失点差やホームアドバンテージも計算に組み込んでいるため、FIFAランキングよりもチームの真の価値を多少正確に反映する傾向があります。

抽選シミュレーションに基づくグループの強さに関する48の確率分布を以下に示します。各チームごとに1つずつです。青い点線の垂直線は分布の平均を表しています。この線がゼロ（小さな点で示された灰色の垂直線）より右にあるほど、抽選手続きはそのチームに対して不利に偏っており、その逆も同様です。オレンジ色の実線は、実際に抽選で決定したグループの強さを表しています。

抽選ポットはFIFAランキングに基づいて構成されたため、FIFAランキングを用いてチームの強さを測定すると、グループの強さの分布は広がりが少なく、ゼロを中心に集中する傾向があります。米国はFIFAランキングで13位、Eloレーティングで28位であったため、Eloレーティングを使用すると米国に有利な偏りが生じていることがわかります。 同様に、ノルウェーはFIFAランキングで26位、Eloレーティングで11位であったため、元の抽選結果にEloレーティングを適用すると、ノルウェーに対して不利なバイアスが生じていることがわかります。Eloレーティングを用いると、抽選手続きは主にトルコとノルウェーに対して不利に、そしてカナダ、米国、南アフリカ、ボスニア・ヘルツェゴビナに対して有利に偏っていたと結論づけられます。

抽選においてチームがどれほど幸運だったかを測定するには、純粋な運の要素と、抽選手続きにおける潜在的な偏りを区別する必要があります。例えば、トルコは強豪が集まるグループに入りました（オレンジ色の線がゼロより右側にあります）が、抽選の際には幸運に恵まれていました（オレンジ色の線が青い点線の左側にあります）。

無作為抽選における純粋な運の要素を抽出するために、グループステージの抽選結果がさらに悪くなる可能性、すなわち、チームがより強力なグループに入ってしまう可能性を測定します。私はこれを「運の指数」と呼んでいます。これは、確率分布曲線のオレンジ色の線の右側にある面積であり、統計学におけるp値の概念に対応しています。 運の指数は0から1の間の数値であり、抽選結果がさらに悪くなる確率が極めて低い場合（非常に不運なチーム）には0に近く、抽選結果がさらに悪くなる確率が極めて高い場合、すなわち抽選手順を考慮した際、抽選結果がさらに良くなる確率が極めて低い場合（非常に幸運なチーム）には1に近くなります。

FIFAランキングとEloレーティングを平均すると、スイスが最も運の良いチームであるようです。 その他の幸運なチームには、カナダ、メキシコ、チェコ、カタール、韓国、エジプト、ドイツが含まれます。カナダは抽選手順によって有利に扱われただけでなく、抽選の際にも幸運に恵まれました。最も不運なチームには、セネガルとフランス（ノルウェーと対戦することになったため）、米国とオーストラリア（ポット4で断トツの最高順位であるトルコと対戦することになったため）、オーストリアとイングランドが挙げられます。

このプロセスでは、バイアスだけでなく分散も測定されます。トルコのような一部のチームが強力なグループに入ることになるのは、抽選で不運だったからではなく、抽選手続き自体が彼らに対してバイアスがかかっているためです。バイアスが存在しない場合でも、分散は問題となります。抽選手続きがすべてのチームに対して公平である場合（つまり、グループの強さの確率分布がすべてのチームでゼロを中心に分布している場合）でも、一部のチームでは他のチームに比べてグループの強さに大きなばらつきが生じる可能性があります。 グループの強さにばらつきが少ないチームは、非常に不運であっても、グループの強さに大きなばらつきがある別の「幸運な」チームよりも、結果として楽なグループに入る可能性があります。

この方法は、2つの金融ポートフォリオの損失を比較することに似ています。ポートフォリオAはポートフォリオBに比べて比較的小さな損失を計上したかもしれませんが、ごく一部のシナリオのみがポートフォリオAにとってより大きな損失につながったという点で、「より不運」だった可能性があります。この観察結果が、リスク測定指標としてのVAR（バリュー・アット・リスク、ビデオ・アシスタント・レフェリーではありません！）という概念の導入のきっかけとなりました。

ある期間（例えば1日）において、100万ドルの5% VARとは、累積確率が5%を超えない最悪のシナリオを除き、1日間の最大損失が100万ドルであることを意味します。 これは確率論における分位数の概念に対応しています。つまり、確率水準（ここでは5%）を固定し、損失分布の5%分位数と呼ばれる値xを測定します。このxより損失が大きくなる確率は5%となります。VARは、企業や規制当局が、想定される損失をカバーするために必要な資産や引当金の額を評価するために頻繁に利用されています。

ワールドカップの抽選における「運」を評価するための我々の手法は、金融の定量的投資戦略が「運が良かった」か否かを測定するために応用できるほか、さらに重要な点として、様々な戦略の損益の確率分布を比較することで、戦略の質を評価するためにも応用可能です。 もちろん、そのためには、戦略で取引される金融資産の共同ダイナミクスをモデル化することで、戦略の結果に関する正確な確率モデルを構築する必要があります。ワールドカップの研究では、抽選ルールが既知であったため、これは問題にはなりませんでした。現在、まさにこの目的のために、金融時系列の生成モデルが開発されています。

ジュリアン・ギヨン氏は、エコール・ナショナル・デ・ポン・エ・ショセ（パリ工科大学）の応用数学教授であり、ニューヨーク大学およびコロンビア大学の客員教授を務めています。 彼は以前、 『』誌に 、 2014年ワールドカップの抽選における偏りや 、当初計画されていた2026年ワールドカップの「3チーム1組の16グループ」形式における共謀のリスクを 検証した 研究を発表しました 。この研究を受けて、FIFAは2018年以降の抽選手順と2026年大会の形式の両方を改定することになりました。