モデルパラメーターの把握

Heath-Jarrow-Mortonモデルなど、金利の一般的な要因モデルのパラメータは平均回帰することが知られています。平均回帰が起こる速度の研究はこれまでほとんど無視されてきましたが、この情報はより効率的なヘッジ戦略を構築するのに役立つでしょう。

より広い意味では、金利モデリングに関する新たな研究は、マクロ経済が不安定な時期に変動する金利に対処する銀行や投資家にとって有益でしょう。

デリバティブ・デスクの実務では、モデルやその計算を単純化するために、平均回帰の速度は一般的に一定と考えられています。

理想的には、厳密かつ検証された手順によって提供され、良好なヒストリカル・フィットと安定性を示すことが望ましいのですが。

パラメータの平均回帰速度を推定する方法は、NatWest Marketsのクオンツ分析・開発チームを率いるVladimir Piterbargと、そのチームの一員であり、最近グローバル・ヘッジファンドのクオンツ開発者となったIgor Duchitskiiによる論文の主題です。

この手法は、平均回帰速度の関数に関連する、異なるテナーの金利変動の間の線形依存関係に基づいています。この線形従属性のおかげで、この方法は、より少ない金利の関数として一連の金利を表現することができるため、問題の次元を減らすことができます。

どのように機能するかを示すために、10の金利バスケットを考え、それらが2つの要因に依存していると仮定してみましょう。

10金利のうち2金利を任意に選択し、ファクターモデルを適用します。そうすると、2つのレートの進化を記述する2つの方程式と2つの未知の変数の系が得られます。

これらの2つの方程式によって得られた因子を、他の8つのレートの方程式に代入します。この系は、初期の2つのレートの観点から、これらのレートのダイナミクスを提供します。結果として得られる関係の係数は、単なる16の定数ではなく、2つのパラメータの平均回帰速度の関数です。

要するに、著者らは、平均回帰パラメータの関数として10種類のレートを定式化し、過去のデータに当てはめたのです。

これらの関係の誤差は、最適な共分散を検出するために著者が与えた方法に従って重み付けされます。そのため、要因を解くために使用される2つのレートの選択には不可知論的な結果となります。

著者らが論文の中で説明しているように、この方法が適用できる条件は、金利の変動がモデル要因の変動に線形に依存すること、そして「この線形関係の係数が絶対時間ではなくテナーの関数であること」です。もう1つの必要条件は、適用するモデルが分離可能なボラティリティを持つことです。つまり、モデル内で、ボラティリティを現在時刻に依存する項と満期に依存する項の両方に分解できることです。

この手法の当初の目的は、金利デリバティブのポートフォリオの評価調整のためのフレームワークの次元を減らし、精度を向上させることでした。

この手法は、Chyetteモデル、Hull-Whiteモデル、マルチファクターHull-Whiteモデル、Cox-Ingersoll-Rossモデル、およびそれらのバリエーションなど、多くの一般的な金利モデルに組み込むことができます。これらはすべて平均回帰の要因を持っており、ボラティリティとは別に平均回帰を厳密に推定する方法についてはほとんど研究されていません。

これらの要因は一般的に観察不可能ですが、場合によっては緩やかに解釈することができます。1要因モデルでは、要因は通常、瞬間的なショート・レートと解釈できます。2ファクターモデルでは、2つのファクターはカーブの水準と傾きと解釈され、3ファクターモデルでは凸性が3つ目のファクターと解釈されるかもしれません。しかし、これは直感的には理解できますが、この手法の重要な特徴ではありません。