クォンタ・オブ・ザ・イヤージュリアン・ギュイヨン

100年以上もの間、物理学者たちは「万物の理論」を探し求めてきました。宇宙がどのように機能するかを説明するために、競合し、時には相反する考えを橋渡しする単一の統一モデルです。

S&P500指数とVix指数のオプションの共同キャリブレーション方法です。

これは、フランス国立ポンツ・エ・ショセ学院（École nationale des ponts et chaussées）のジュリアン・ギュイヨン教授（金融学）が「ボラティリティ・モデリングの聖杯」と形容する茨の道です。

オプションのインプライド・ボラティリティを様々なストライクに対してプロットすると、特徴的なボラティリティの「スマイル」が得られます。S&P500オプションとVixオプションは、VixがS&P500オプションの30日ボラティリティの指標であることから、密接な関係があります。S&Pオプションは左に、Vixオプションは右に微笑んでいます。

この不一致は、ポートフォリオをヘッジするために使われる2つの商品の間に裁定取引が存在する可能性を示唆しています。Guyonは以前、2020年の論文でこの概念を調査し、裁定取引は存在しないことを発見しました。これにより、インプライド・ボラティリティの共同キャリブレーションの可能性が広がりました。

経路依存ボラティリティはジュリアンが行った研究の中で最も興味深いものです。ボラティリティの挙動をよりよく説明することができます。

ブルーノ・デュピレ、ブルームバーグ

ギュイヨンは2023年11月、人工知能の助けを借りて資産価格とボラティリティの関係を確立する手法を用い、解決策を発表。2024年1月には、この2つのスマイルを共同でキャリブレーションするための、より高速で連続的なモデルを紹介する別の論文を発表しました。

「ボラティリティは魅力的なテーマです。「私にとって、S&PオプションとVixオプションの共同キャリブレーションは、資産価格だけでなく、そのインプライド・ボラティリティの確率分布を捉えることで、モデリングに深く踏み込んでいます。これは数学的に本当に難しいことです」。

言い換えれば、ボラティリティは過去の資産リターンに強く依存しており、現在の市場価値だけに依存しているわけではないということです。このことは、ギュイヨンが力を入れているもう一つの研究分野であり、業界に大きな影響を与えることが期待されている、パス依存型ボラティリティ・モデルに関する研究とリンクしています。これは、長年デリバティブのプライシングを支えてきたローカル・ボラティリティや確率的ボラティリティ・モデルとは一線を画すものです。

ボラティリティ・モデルの比較的未開拓の領域でユニークな研究を行おうとするギュイヨンの努力は、上級の学者たちから称賛を浴びています。

「ニューヨークのブルームバーグでクオンツ・リサーチ・チームの責任者を務めるブルーノ・デュピレ氏は、「ジュリアンは非常に賢く、徹底した研究者です。「個人的には、パス依存ボラティリティはジュリアンが行った研究の中で最も興味深いものだと思います。ボラティリティの挙動をよりよく説明することができます」。

橋渡し役

ギュイヨンが初めてクオンツ・ファイナンスに触れたのは、大学でのキャリアの中では比較的遅い時期でした。エコール・ポリテクニークで数学を学んだ後、応用数学と工学を専門にするために2000年にエコール・デ・ポンに移りました。この間、通っていた学校の名前からもわかるように、土木工学のコースの一環として橋の架設理論を勉強。

彼は実際に橋を架けたことはありませんでしたが、一見別々に見える概念を統合する直感は、そこで身についたのかもしれません。確率論の博士課程に進み、その間に有名な修士課程エル・カルイ校に通って初めて、彼は金融数学について学び始めました。

2006年、現在スクエアポイント・キャピタルのボラティリティ・クオンツであるロレンツォ・ベルゴミに雇われ、ソシエテ・ジェネラルのエクイティ・クオンツ・チームに参加。当時、ソシエテ ジェネラルは新しいデリバティブ商品の開発におけるリーダー的存在であり、リスクの識別と定量化、複雑な構造の価格決定とヘッジを行うための適切なモデルの開発方法を学ぶには最適の場所でした。

初期のプロジェクトは、アメリカン・オプションのプライシングのためのモンテカルロ法とインプライド・ボラティリティの計算の高速化に関するものでした。この仕事は、バニラ商品からエキゾチック商品、さらには株式と関係のあるハイブリッド商品まで網羅するようになりました。

私たちは、瞬時のボラティリティが非常に不安定で、平均回帰が非常に速いことを発見しました。ある意味で、それはラフ・ボラティリティのように見えますが、そうではありません。

ジュリアン・ギヨン

ソシエテ・ジェネラルでの6年間が終わる頃、ギュイヨンは同僚のピエール・アンリ＝ラボルデールとともに、モンテカルロ法を用いてあらゆる局所的確率ボラティリティ・モデルをキャリブレーションする方法を示した論文を発表しました。

インプライド・ボラティリティが計算されたバニラ・オプションは、エキゾチック・オプションを含む複雑なポートフォリオを含むポートフォリオのヘッジに使用されるため、インプライド・ボラティリティの表面にモデルを適合させることは重要です。バニラ・オプションのボラティリティ・サーフェスに正しくキャリブレーショ ンするモデルは、より優れたヘッジを可能にします。

Vixデリバティブの登場は、ボラティリティ・モデルという厄介な仕事にさらなる混乱をもたらしました。2004年に登場したVix先物と2006年に登場したVixオプションは、フォワード・ボラティリティとボラティリティ・オブ・ボラティリティの取引を可能にしました。今やモデルは、フォワード・ボラティリティのリスク中立価格に関する市場の情報、つまり市場が将来インプライド・ボラティリティがどうなると予想しているかという情報を含むべきです。

これらの新しい構造によって、S&PオプションとVixオプションの間に裁定取引が存在するかどうかという疑問も生じました。デュパイアのクオンツ・リサーチ・チームの一員としてブルームバーグに入社したギュイヨンは、S&PオプションとVixオプションの共同キャリブレーションをどのように行うかという問題に取り組み始めました。

この2つの商品の対照的な笑顔は、その違いを利用できないかという憶測を呼びました。ギュイヨンの2020年の論文では、少なくともその時点では、離散時間モデルを使った裁定取引は除外されていました。しかし、彼はさらに調査を進めました。ギュイヨンは、両者に共同で適合する連続時間モデルを構築しようと考えたのです。

当時プリンストン大学の博士課程に在籍していたスキャンダー・ムスタファと共同で執筆した2023年11月の論文では、1ファクターの確率的局所変動モデルを使って2つのオプションに共同で適合させています。2人はS&P500指数に関するモデルを作成し、資産価格のプロセス、ボラティリティに関連する別のプロセス、およびニューラルネットワークによって捕捉されるそれらの間の依存構造を有しています。

「ニューラルネットワークの特性から、S&PオプションとVixオプションのジョイント・キャリブレーションという難しい問題を捉えるのに十分な豊かさがあると期待しました。しかし、最終的にはうまくいきました」とムスタファ。

当然かもしれませんが、彼らは資産価格とボラティリティの2つのプロセスが互いに大きく依存していること、より正確には逆相関していることを発見しました。この依存構造を知ることで、彼らはS&PとVixの商品を共同でモデル化することができました。そして、ボラティリティの特性に関するより広範な結論を導き出し、この研究分野とギュイヨンによる経路依存型ボラティリティ・モデルの研究を結びつけることになったのです。

ジュリアンは、VixとS&Pのダイナミクスのハーモナイゼーションに関して、非常に興味深い研究を数多く行っています。

レイフ・アンダーセン、バンク・オブ・アメリカ

「その結果、ボラティリティ・プロセスはほとんどパスに依存していることがわかりました。「また、瞬間的なボラティリティは非常に不安定で、平均回帰が非常に速いこともわかりました。ある意味で、それはラフ・ボラティリティのように見えますが、そうではありません」。

翌年1月には、S&PとVixの微笑を共同でキャリブレーションするための、より高速なモデルを発表しました。ブルームバーグのクオンツ・リサーチャーであるフローリアン・ブルジーとの共著で、2020年の論文を拡張した連続時間共同キャリブレーション・モデルが紹介されました。

同業者はギュイヨンの研究を賞賛していますが、ある実務家は、このモデルはまだ実取引環境には適していないかもしれないと指摘しています。

「ジュリアンは、VixとS&Pのダイナミクスの調和について、非常に興味深い研究を行っています。「これらのモデルは、トレーディング・フロアでは直接使用されないかもしれません。2つのスマイルの共同モデリングは、アクティブ・トレーディングに必要なプライシング速度を達成できる、よりターゲットを絞ったモデルに後回しにされることが多いでしょう。しかし、トレーダーやクオンツは、その意味を理解し、完全な裁定取引を排除するために、この話題に注目しています。

クオンツ業界では、この問題は解決されたとの見方が強いようですが、ギュイヨン氏は予想通り、そうではないと反論しています。科学の世界ではどこでもそうであるように、解決策を進めることを止めてはならない、と彼は言います。スピードの向上やボラティリティのダイナミクスを捉える能力の向上はまだ可能であり、彼はその目標を追求し続けるつもりです。

新たな道

インプライド・ボラティリティが一定の経路をたどり、現在の瞬間的な市場だけに依存するものではないという考えは、数年前からギュイヨンの頭の中にありました。このトピックに関する2014年の初期の論文に続き、2022年には、ボラティリティの経路依存性に関する彼の理論をさらに詳しく説明した、より影響力のある論文が発表されました。

「ある資産とそのインプライド・ボラティリティ、例えばS&PとVixの金融時系列を見ると、ボラティリティ・ショックは常に市場の下落時に起こることがわかります。

ボラティリティは、過去のリターンの平均とボラティリティ自体の平均に依存するはずです。ギュイヨンは、ボラティリティのどれだけが内生的なのか、言い換えれば、ボラティリティ自身のダイナミクスだけで説明可能なのか、そしてどれだけが外生的なのか、つまり市場のショックによって決まるのかを理解しようとしました。その結果、内生的な要素が支配的であることがわかりました。

「私はボラティリティが純粋に経路依存的だと主張しているのではありません。

その結果、2022年の論文に概説されているように、ボラティリティを予測し、過去のデータに基づいてインプライド・ボリュームのサンプルを生成する計量経済学的モデルが生まれました。

ベルゴミは、ギュイヨンのパス依存型ボラティリティ・モデルを「S&Pのインプライド・ボ ラティリティの短期の現実的なパスを生成するための最良のモデル」と評しています。また、次のように述べています：「これは、この変数を考慮する必要があるリスク・フレームワークの一部として非常に有用です。

「経路依存性はファイナンスの基本概念です。「ペイオフは経路依存性であり、基礎となるもののダイナミックスも同様で、その重要な例がボラティリティです。数年以内に、彼のモデルのいくつかのバージョンが銀行に導入されるでしょう。

実際、銀行ではなく、投資会社ではすでにそうなっています。クオンツ・ヘッジファンドのキャピタル・ファンド・マネジメントは、パス依存性の原理を利用したボラティリティ・モデルを持っています。パス依存性の考え方は、いわゆるツンバッハ効果にルーツがあり、トレンドの方向とは関係なく、価格トレンドが将来のボラティリティに影響を与えるというものです。「この効果が最初に概念化された2010年当時、文献で提案されたモデルのどれもが捉えていなかった特徴でした」とブショー氏。

シミュレーションデータ

10年間勤めたブルームバーグでの勤務は2022年に終了。彼はパリに戻り、エコール・デ・ポンに再入学。確率論と金融数学の講義を担当。

業界に身を置いても、学界とのつながりが途切れることはありませんでした。ブルームバーグ在籍中は、コロンビア大学とニューヨーク大学のクーラント・インスティテュートでクオンツ・ファイナンスの修士課程で教えていました。そして現在、パリからニューヨーク大学タンドン工学大学院の客員教授として定期的にビッグアップルに戻っています。

ギュイヨンの当面の課題は、彼のモデルの拡大です。「経路依存型ボラティリティ・モデルの力を本当に発揮させたいのです。ここ数年、クオンツが取り組んでいるミッション、すなわち合成データの生成に彼のモデルを展開する予定です。

合成データは、さまざまな金融モデルの開発と訓練に役立つ重要な新兵器と考えられています。

「金融では1つの資産につき1つの価格経路しかないので、実験を繰り返すことはできません。「現実的なシナリオを生成することができれば、自分の戦略がどれだけ優れているかをより確実に測定することができ、そのリスクを測定し、ストレステストを実行することができます。

ガイオンは、パス依存型ボラティリティ・モデルが、同じ目的のパラメトリック・モデルと同様に、合成データを生成する純粋なデータ駆動型ソリューションに貢献できると確信しています。

一方、彼は産業界と学界の橋渡しを続けるつもりです。彼の最新の任命は、École des ponts、Université Paris Cité、BNP Paribasのコラボレーションである “Futures of quantitative finance “イニシアチブの議長を務めることです。

キャリアの面では、彼はオープンマインドです。しかし、アカデミアとのつながりを完全に断ち切ることは不可能でしょう。ギュイヨンが入社したソシエテ・ジェネラルの優秀なチームのうち、ベルゴミとアンリ＝ラボルデールは現在ヘッジファンドで働いています。そのような機会があれば、ギュイヨンも誘惑されるのでは？「良いオファーがあれば、勉強しますよ。でも、学術界とのつながりを保てるような研究職でなければならないでしょう」。