コピュラがデリバティブ価格算定において新たな役割を見出した

「コピュラ」という言葉は、2008年の世界金融危機当時、市場に関わっていた方々にとって、今なお不快な記憶を呼び起こすかもしれません。

債務担保証券（CDO）の価格設定に広く用いられたガウス・コピュラは、相関の歪み——ストレス時に資産の動きがより連動する傾向——を捉えきれず、悲惨な結果を招きました。

コピュラを用いることで、不必要なシミュレーションを回避することが可能です

イグナシオ・ルハン

しかし、すべてのコピュラが同じように作られているわけではありません。正規平均分散混合コピュラは、確率変数の依存構造におけるヘビーテールや非対称性を捉えることができます。マドリードを拠点とするクオンツアナリスト、イグナシオ・ルハン氏は最新の論文で、この種のコピュラをエキゾチックオプションの価格設定改善に適用する方法を説明しています。

この手法は相関の歪みに対処するのに優れており、バスケット商品やベスト・オブ・オプション、ワースト・オブ・オプションといった経路依存型商品の価格設定に不可欠です。主な利点は、満期までの複数の経路をシミュレートする必要がなくなる点にあります。

「満期時点の価格のみをシミュレートすればよいヨーロピアン型オプションにおいて、満期までの全経路をシミュレートすることはあまり意味がありません」とルハン氏は述べています。「コピュラを用いることで、不要なシミュレーションを回避できるのです」

本論文で提案された手法は二段階から構成されます。まず、コピュラを用いてバスケットのインプライド・ボラティリティ曲面とフォワードカーブを生成します。これらの入力値を用いることで、バスケットを一次元プロセスとしてシミュレートし、各時間ステップまたは観測日における目標の同時分布を再現することが可能となります。

これは、相関の歪みを捉えるものの、計算負荷の高い大量のシミュレーションを必要とするローカル相関モデルなど、エキゾチックオプションの価格設定における現在のアプローチから大きく逸脱するものです。

ルハン氏の目標の一つは、オートコール商品などの複雑な商品の価格設定を簡素化することでした。「このソリューションにより、問題の次元性が大幅に低減されたと考えています」と彼は述べています。もう一つの目的は、経路分布と結合分布を独立して制御することでした。これにより、確率的局所ボラティリティのダイナミクスと相関スキューの影響を分離することが可能となり、ルハン氏はこれがモデルリスク管理にとって興味深い示唆を与えると指摘しています。

ルハン氏はさらに、複数のバスケットの組み合わせに依存する商品や、一次元シミュレーションでは捉えきれない複雑な特徴を持つ商品の価格設定のための特例的手法も開発しました。この手法では、バスケット構成銘柄の指数に対して正規分布コピュラを較正します。これにより、指数そのものだけでなく、資産の任意の部分集合についても依存構造が得られます。指数とその構成銘柄を個別にシミュレートする必要がなくなるため、問題の次元が削減されるのです。

ルジャン氏は、この手法がフロントオフィスでの応用には限界があると認めています。トレーディングデスクでは、コピュラでは提供できないガンマやシータを用いて説明された明確な損益（P&L）を必要とします。「しかしながら、指標価格設定、評価調整の推定、ストレスシナリオの生成といった他のタスクには非常に適しています」と同氏は述べています。

もう一つの潜在的な制約は、モデルが扱えるバスケットの規模です。ルハン氏は最大50資産のバスケットで検証しており、ユーロストックス50のような中小規模の株価指数には適しているものの、S&P500のような大規模指数には不向きであることを示唆しています。

これまでの経緯を踏まえると、銀行がデリバティブ価格算定にコピュラを用いることには慎重になるでしょう。しかしそれは、いわゆる「お湯ごと赤ん坊まで流してしまう」ような過ちかもしれません。ガウス・コピュラはクレジットデリバティブの価格算定には単純すぎました。ルハン氏は、複雑で相関性のある構造に適した別のコピュラが、確立された価格算定手法に代わる有効な選択肢となり得ることを示しています。

「私の見解では、コピュラを用いた経路依存型オプションの価格算定は、まだ非常に初期段階にあります」とルハン氏は述べています。

1959年にエイブ・スクラールが発表したコピュラ導入論文は、あらゆる依存構造を記述できることを証明しました。ルハンの論文は、これがバスケットオプションにも当てはまることを示しています。他の商品についても同様のことが言えるかどうか、検討する価値があるかもしれません。